접선에 대한 생각

 미적분, 고등수학의 최종보스라 해도 될만큼 알수없는 기호들의 놀이터인 미적분은 '미적분'이라는 말만들어도 넘을 수없는 벽을 느끼기도 한다. 나도 처음엔 그랬지만 완벽하게 미적분을 이해하니 생각보다 미적분이 그렇게 어려운 개념이 아니라는 생각이 들었다.

 미적분은 미분과 적분으로 이루어져있는데, 이둘은 서로 '역'의 관계를 띄고 있다고 해도 된다. 그러니 미분을 배우면 적분은 반쯤 한것이나 다름없다.

그리고 미분은 '접선'이 가장 중요하다. 그렇다면 접선의 정확한 뜻은 무엇일까?

(이제부터는 극한의 기본적 개념을 알고 있다고 생각하고 설명합니다.)

극한과 접선

극한은 말그대로 어떤 제한까지 무언가를 밀어붙이는 것이다. 예를 들어 x가 a라는 값에 가까워진다고 하자. 하지만 이 x 는 절대로! a가 되지 않는다. 다시 말해보자면, 극한의 개념은 '한없이 가까워 지지만 절대로 그 특정한 값에는 도달하지 않는 상태'다.

다시 접선의 이야기로 돌아가서 생각해보자. 접선은 극한과 관련이 깊다. 예를 들어 곡선 그래프 f(x)가 있다고 해보자. 그리고 f(x) 위에 x좌표가 각각 a,b인 두점 P,Q를 잡자. 그리고 우리는 b를 a로 보내는 극한을 하면 점Q가 점점 점P에 가까워지는 것을 관찰할 수 있을 것이다. 그 이유는 b를 a로 보내는 극한을 하면 b-a의 값이 0에 한없이 가까워 질것이기 때문이다. 결국 우리는 P와 Q가 거의 겹쳤다고 봐야한다.

 

이제 다시 위의 그림에서 왼쪽그래프 위의 두점 P,Q를 이은 직선 m이 있다고 하자. 그리고 오른쪽그래프처럼 하면 직선 m은 어떻게 될까? 직접 그어보면 m이 P(또는 Q)에서 f(x)의 접선이라는 것을 깨달을 것이다.

즉, 접선은 그래프위의 두점 중 한점을 한없이 다른 점으로 보내고 그 두점을 연결한 선이라는 것을 알 수 있다.