내가 만든 법칙 - 약수의 역수 법칙

 어느날 내가 잘려고 누웠는데 갑자기 '약수'에 대한 생각이 났다. 약수에 대하여 생각하다보니 약수와 관련된 수의 관계인 '부족수', '완전수', '과잉수'가 떠올랐다. 그리고 그중 가장 '완벽'한 완전수를 생각하다보니 '6'이 떠올랐다. 완전수는 약수중 자기자신을 뺀 모든 약수를 더하면 자기 자신이 되는 수다. 6도 1,2,3을 더하면 6이되는 완전수다. 그런데 갑자기 나는 약수의 역수인 1, 1/2, 1/3, 1/6을 더하고 싶어졌다. 그런데 놀라운 일이 일어났다. 약수의 역수, 즉 1, 1/2, 1/3, 1/6을 더했더니 2이 된 것이었다. 뭔가 이것은 6만의 규칙이 아닌듯 했다. 결국 나는 '과연 모든 완전수는 이런 성질을 띌까?' 라는 질문을 탐구해보기로했다.

먼저 증명을 할려면 문자를 설정해야했다. 일단 임의의 완전수를 'a'라고 놨다. 그리고 a의 약수를 D1, D2, D3, ..., Dn이라고 놨다. 그리고 Dm < D(m+1)이라는 규칙을 만들어서 약수들을 크기순으로 정렬했다. 이때 a는 Dn이 되었다.(가장 큰 약수는 자기자신) 그리고 D1은 1이 되었다.(가장 작은 약수는 1)

이제 증명하기 전에 마지막 단계만 남았다. 완전수의 성질을 써야했다. 완전수는 자기자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기자신이므로 D1 + D2 + D3 + ... + D(n-1) = a 가 되었다.

그리고 약수의 고유한 성질이 있다. 바로 어떤 수의 약수를 크기순으로 나열 하였을때 양끝에 있는수부터 하나씩 앞, 뒤로 와서 곱해도 각각 원래 수가 나온다. 예를 들어 6의 약수인 1,2,3,6은 1 x 6 = 6, 2 x 3 = 6 이다. 그리고 이건 식으로 Dm x Dn-m+1 = a 가 된다. 예를 들어 D1 x Dn = a, D2 x D(n-1) = a, ... 가 된다.

이제 증명해보자.

식을 이곳에 적기는 어려워서 노트에 필기한 것을 보여주겠다.

(참고로 두번째 줄은 분모를 a로 통분한것이다.)

이로써 완전수의 약수의 역수의 합은 2인것이 증명되었다.

또, 부족수는 자기자신을 뺀 모든 약수의 합이 자기자신보다 작은수,

     과잉수는 자기자신을 뺀 모든 약수의 합이 자기자신보다 큰수

이므로

위의 노트 아래에서 3번째 줄에서 D1 + D2 + D3 + ... + D(n-1)이

     부족수는 a 미만,

     과잉수는 a 초과라 하면,

1) 부족수에선 마지막 결론에서 a/a + a/a 가 아닌 (a 미만인 수)/a + a/a 가 되어 1이상 2미만인 수가 된다.

또,

2) 과잉수에선 마지막 결론에서 a/a + a/a 가 아닌 (a 초과인 수)/a + a/a 가 되어 2초과인 수가 된다.

(물론 2초과 어떤수 미만(or 이하) 일 수도 있지만 아직은 모릅니다.)

3)1에선 그냥 약수의 역수의 합이 그냥 1이다.

이렇게 나는 모든 자연수에서의 법칙을 완료했기 때문에 난 이것을

약수의 역수 법칙 이라고 하기로 했다.

이렇게 직접 하나의 법칙을 만드니 뿌듯했다. 또 다른 주제로 법칙을 만들어 봐야겠다.